Sujets de grand oral maths : 20 questions originales et 2 exposés rédigés corrigés

9. Une rumeur peut-elle grandir de façon exponentielle jusqu'au bout ? Angle : comparer le modèle exponentiel et un modèle qui sature.
10. Une chaîne suspendue dessine-t-elle une parabole ? Angle : la chaînette, définie à partir de la fonction exponentielle, et la convexité.

Intégration

11. Que signifie la « température moyenne » d'une journée ? Angle : valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle, différente de la moyenne du minimum et du maximum.
12. Comment déduire la quantité totale de pluie d'une courbe d'intensité ? Angle : l'intégrale comme cumul d'un débit au cours du temps.

Équations différentielles

13. Comment une équation différentielle permet-elle de dater les restes d'un foyer préhistorique ? Angle : décroissance du carbone 14 modélisée par une équation du type y' = ay.

Probabilités et statistique

14. Un sondage auprès d'un millier de personnes peut-il parler pour tout un pays ? Angle : loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev (traité en exposé rédigé).
15. Un test de dépistage très fiable peut-il se tromper une fois sur deux quand il est positif ? Angle : probabilités conditionnelles et rôle de la rareté de la maladie.
16. Pourquoi le casino gagne-t-il toujours sur le long terme ? Angle : espérance négative du joueur et loi des grands nombres.
17. Combien de paquets acheter pour compléter une collection de figurines ? Angle : somme de variables aléatoires et espérance, en dépassant légèrement le programme.

Algorithmique et programmation

18. Peut-on prouver qu'un programme très simple s'arrête toujours ? Angle : la conjecture de Syracuse, toujours ouverte, et les limites du raisonnement par récurrence.
19. Comment une calculatrice obtient-elle une valeur approchée de racine de 2 ? Angle : suite de Héron ou dichotomie, vitesse de convergence.
20. Pourquoi tester tous les itinéraires d'une tournée devient-il vite impossible ? Angle : croissance de la factorielle et intérêt des méthodes approchées.

Exposé n° 1 — Pourquoi la quantité de médicament dans le sang finit-elle par se stabiliser ?

Modèle d'exposé d'environ cinq minutes. Les valeurs numériques sont fictives et choisies pour le calcul : il ne s'agit en aucun cas d'une indication médicale.

Accroche et motivation. Quand ma grand-mère a été opérée, l'infirmière lui a laissé une feuille : un comprimé toutes les huit heures, pendant cinq jours, même si la douleur disparaît. Elle trouvait cela inutile après le deuxième jour. Je me suis demandé pourquoi la régularité comptait autant. J'envisage des études de pharmacie, et la réponse se trouve, à ma grande surprise, dans un chapitre de mathématiques : les suites.

Problématique. Si l'on ajoute régulièrement la même dose alors que le corps en élimine une partie, la quantité de médicament va-t-elle augmenter sans fin, diminuer, ou se stabiliser ? Et à quel niveau ?

Annonce du plan. Je construirai d'abord un modèle simple sous forme de suite, puis je déterminerai sa limite, avant d'expliquer ce que ce résultat dit de la prise du médicament.

Premier temps : modéliser. Faisons deux hypothèses simplificatrices. Chaque prise apporte 100 milligrammes dans le sang. Entre deux prises, l'organisme élimine la moitié de ce qui s'y trouve. Appelons u indice n la quantité présente juste après la prise numéro n. On a u zéro égal à 100. Huit heures plus tard, il ne reste que la moitié de u n, à laquelle s'ajoute une nouvelle dose. D'où la relation : u n plus un égale un demi de u n, plus 100. Ce n'est ni une suite arithmétique, puisqu'on ne rajoute pas toujours la même quantité nette, ni une suite géométrique, puisqu'il y a un terme constant. C'est une suite arithmético-géométrique.

Deuxième temps : trouver la limite. Si la suite se stabilise vers une valeur L, cette valeur doit vérifier L égale un demi de L plus 100, c'est-à-dire L égale 200. Pour le démontrer, on pose v n égale u n moins 200. Un calcul rapide montre que v n plus un égale un demi de v n : la suite v est géométrique de raison un demi, de premier terme moins 100. Donc v n égale moins 100 fois un demi puissance n, et u n égale 200 moins 100 fois un demi puissance n. Comme un demi puissance n tend vers zéro, u n tend vers 200 milligrammes. De plus, u n reste toujours inférieure à 200 et augmente à chaque prise : le niveau monte, puis plafonne. Les premiers termes le confirment : 100, puis 150, puis 175, puis 187,5. L'écart à 200 est bien divisé par deux à chaque prise.

Troisième temps : interpréter. Ce résultat explique la consigne de l'infirmière. Au départ, la quantité est faible ; il faut plusieurs prises pour approcher le niveau d'équilibre. Avec mon modèle, après la cinquième prise, on est déjà à plus de 95 % de ce niveau. Si l'on arrête, la quantité retombe de moitié à chaque intervalle. On comprend aussi pourquoi doubler une dose après un oubli n'est pas anodin : cela perturbe l'équilibre. Bien sûr, le modèle est simplifié. L'élimination réelle est continue et non par paliers ; elle se décrit alors par une fonction exponentielle décroissante, solution de l'équation y' égale moins k y. Le principe reste le même : l'apport régulier compense exactement l'élimination à un certain niveau. On retrouve la même structure ailleurs : un lac qui reçoit chaque année la même quantité de polluant et en élimine une fraction fixe, ou une piscine dont on renouvelle chaque jour une partie de l'eau en ajoutant toujours la même dose de chlore. Dans chaque cas, le calcul donne le niveau d'équilibre et la vitesse à laquelle on s'en approche.

Conclusion. Une relation de récurrence très simple suffit à comprendre pourquoi un traitement doit être pris régulièrement : la quantité dans le sang s'approche d'un plafond, déterminé par la dose et par la vitesse d'élimination. J'ai montré ce calcul à ma grand-mère ; elle n'a pas été convaincue par la suite géométrique, mais elle a fini son traitement.

Questions que le jury peut poser

« Pouvez-vous démontrer que u n reste inférieure à 200 sans la formule explicite ? » Par récurrence. Initialisation : u zéro égale 100, qui est inférieur à 200. Hérédité : si u n est inférieure à 200, alors un demi de u n est inférieur à 100, donc u n plus un, qui vaut un demi de u n plus 100, est inférieure à 200. La propriété est donc vraie pour tout entier naturel n.

« Pourquoi avez-vous eu l'idée de poser v n égale u n moins 200 ? » Parce que 200 est le point fixe de la relation. En mesurant l'écart à ce point fixe, on fait disparaître le terme constant : l'écart est divisé par deux à chaque étape. C'est une méthode générale pour toutes les suites arithmético-géométriques dont le coefficient est différent de un.

« Que se passe-t-il si on double la dose ? » La limite vérifie alors L égale un demi de L plus 200, donc L égale 400 : le plafond double. En revanche, la vitesse à laquelle on s'en approche ne change pas, car elle dépend seulement du coefficient un demi, c'est-à-dire de l'élimination.

« Quel est le lien entre votre suite et la fonction exponentielle ? » Un demi puissance n peut s'écrire exponentielle de n fois logarithme d'un demi. Si l'on observe la quantité en continu, on obtient une fonction de la forme C zéro fois exponentielle de moins k t. Le temps au bout duquel la quantité est divisée par deux, la demi-vie, vaut logarithme de deux divisé par k.

Exposé n° 2 — Un sondage auprès d'un millier de personnes peut-il parler pour tout un pays ?

Second modèle, sur la partie probabilités du programme.

Accroche et motivation. Un soir d'élection, mon père a haussé les épaules devant les premières estimations : « Ils ont interrogé mille personnes, et nous sommes des dizaines de millions. » L'argument paraît imparable. Pourtant, les estimations se révèlent souvent proches du résultat final. J'ai voulu savoir si c'était de la chance. Je souhaite m'orienter vers une licence de mathématiques appliquées, et la statistique est l'un des domaines qui m'attirent le plus.

Problématique. Comment un échantillon minuscule par rapport à la population peut-il donner une estimation fiable, et peut-on chiffrer le risque de se tromper ?

Annonce du plan. Je modéliserai d'abord le sondage par une loi binomiale, puis j'utiliserai l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour majorer le risque d'erreur, avant de discuter ce que le calcul ne dit pas.

Premier temps : modéliser le sondage. Supposons qu'une proportion inconnue p de la population soutienne un candidat. On interroge n personnes choisies au hasard, de façon indépendante. Le nombre X de soutiens dans l'échantillon suit alors une loi binomiale de paramètres n et p. On estime p par la fréquence F, égale à X divisé par n. Son espérance vaut exactement p : en moyenne, le sondage vise juste. Sa variance vaut p fois un moins p, divisé par n. Or le produit p fois un moins p ne dépasse jamais un quart. La variance de F est donc au plus un sur quatre n. Fixons les idées : si 52 % des électeurs soutiennent réellement le candidat, un sondage de mille personnes ne trouvera pas forcément 520 soutiens ; il pourra en compter 505 ou 538 selon le hasard du tirage. La vraie question n'est donc pas de savoir si le sondage tombe juste, mais de mesurer à quel point il risque de s'en écarter.

Deuxième temps : majorer le risque. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme que la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance d'au moins une quantité delta est inférieure ou égale à sa variance divisée par delta au carré. Appliquons-la avec n égal à 1 000 et un écart de cinq points, delta égal à 0,05. On obtient un majorant égal à un divisé par quatre fois 1 000 fois 0,0025, soit 0,1. Autrement dit, la probabilité que le sondage se trompe de cinq points ou plus est au plus de 10 %. Et il y a un point remarquable : la taille de la population n'apparaît nulle part dans ce calcul. Seul compte le nombre de personnes interrogées. C'est la réponse à l'objection de mon père : on goûte une soupe avec une cuillère, quelle que soit la taille de la marmite, à condition qu'elle soit bien mélangée.

Troisième temps : ce que le calcul ne dit pas. Ce résultat suppose un tirage au hasard et des réponses sincères. En pratique, les instituts construisent souvent des échantillons par quotas, certaines personnes refusent de répondre, d'autres changent d'avis. Ces biais ne diminuent pas quand on augmente la taille de l'échantillon. Par ailleurs, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est très prudente : avec des outils plus fins, hors programme, on obtient pour mille personnes une marge plutôt de l'ordre de trois points. Enfin, quand deux candidats sont au coude-à-coude, un écart de cette taille suffit à inverser le pronostic : le sondage ne permet alors pas de désigner un vainqueur, et l'honnêteté consiste à le dire.

Conclusion. Un échantillon aléatoire d'un millier de personnes suffit pour estimer une proportion avec une erreur de quelques points dans la grande majorité des cas, quelle que soit la taille du pays. La difficulté n'est pas le nombre, mais la qualité du tirage. Mon père n'a toujours pas confiance dans les sondages, mais il ne se sert plus de cet argument-là.

Questions que le jury peut poser

« Pourquoi p fois un moins p est-il inférieur à un quart ? » La fonction qui à p associe p moins p au carré est un polynôme du second degré dont le maximum est atteint en p égal un demi, où elle vaut un quart. On peut aussi écrire un quart moins p fois un moins p, égal à p moins un demi, le tout au carré, qui est positif.

« Combien faudrait-il interroger de personnes pour une erreur d'au plus deux points avec un risque de 10 % ? » Il faut un sur quatre n fois 0,02 au carré inférieur ou égal à 0,1. Cela donne n supérieur ou égal à 6 250. Diviser la marge par deux et demi oblige à multiplier l'échantillon par six et quart : la précision coûte cher.

« Pourquoi peut-on considérer les tirages comme indépendants alors qu'on n'interroge pas deux fois la même personne ? » Parce que la population est immense par rapport à l'échantillon. Retirer quelques centaines de personnes ne modifie presque pas la proportion restante. Le modèle binomial, qui correspond à un tirage avec remise, est alors une très bonne approximation.

« Quel lien avec la loi des grands nombres ? » L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet justement de la démontrer : quand n tend vers l'infini, le majorant tend vers zéro, donc la probabilité que la fréquence s'écarte de p d'au moins delta tend vers zéro, quel que soit delta strictement positif.

Les maladresses à éviter

• Réciter une démonstration sans l'expliquer. Le jury préfère une idée bien dite à une suite de calculs débités trop vite.
• Lire les formules comme des symboles isolés. Dites « la quantité de médicament juste après la prise numéro n » plutôt que « u n » seul.
• Choisir un sujet sans mathématiques réelles. Une question sur l'histoire du nombre zéro, sans calcul, risque de ne montrer aucune compétence du programme.
• Oublier les hypothèses du modèle. Indépendance, élimination proportionnelle : les nommer montre que vous savez ce que vaut votre résultat.
• Utiliser des chiffres réels que vous ne pouvez pas justifier. Des valeurs fictives clairement annoncées sont parfaitement acceptables.

Mémo de dernière minute

• Ma situation de départ se comprend sans connaissances mathématiques.
• Je peux énoncer précisément le théorème ou la propriété centrale.
• J'ai un calcul simple que je peux refaire sans support.
• Je connais au moins une limite du modèle.
• Je sais ce que je ferais si le jury modifie un paramètre.
• J'ai répété l'exposé à voix haute en cinq minutes.
• Mon projet d'études est relié à la question de façon naturelle.